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多普勒效应公式推导

很多小伙伴可能觉得多普勒效应很难，或者要在学习波动知识点后才能理解。其实关于多普勒效应的公式推导很简单，简单到只是两个匀速直线运动而已。所以，我经常在高一时就跟小伙伴们讲多普勒效应了，只是没有把这个专业名词说出来而已。

举例说明，

一个报警器每1s发出一声警报，某人在速度为100m/s的高铁内向着报警器运动，假设声音传播速度为300m/s，问该人1min能听到几次警报？

解：我们将该问题形象化一点，

比如报警器发出警报犹如发射一个个小球，

声音在空气中传播犹如小球在空气中运动，

因为每1s发射一个小球，且根据小球在空气中运动的速度为300m/s，所以小球与小球之间的距离为，

$�=300\times 1=300�$ ，如下，

小球如同一列队伍一样，保持间距为300米，以300m/s的速度前进，而人以100m/s的速度前进，根据相向运动的规律可知，人1min相对“小球队伍”走过的距离为，

$(300+100)\times 60=24000�$ ，

注意了，小球与小球间距为300m，所以人1min能遇到的小球个数为，

$24000/300=80$ 次，

也就是能听到80次警报。

好了，有了上面形象的具体例子，下面我们只要翻译成多普勒效应中的相关术语即可。再说明如下：

声源频率为f，声音传播速度为v，若声源向着观察者运动的速度为 ${�}_{源}$ ，观察者向着声源运动的速度为 ${�}_{人}$ 。

下面进行推导。

首先根据频率f可知，两次发射小球的时间间距为，

$�=\frac{1}{�}$ ，

由于声源在发射小球后也会向着小球运动，所以小球间的距离为，

$�=(�-{�}_{源})�=(�-{�}_{源})\frac{1}{�}$ ，

注意了“小球队伍”运动的速度仍为v，而不是 ${�}_{源}$ ，而人的速度为 ${�}_{人}$ ，所有经过时间t，人相对“小球队伍”走过的位移为，

$�=(�+{�}_{人})�$ ，

所以人在该时间内遇到的小球个数，也就是听到声音的次数为，

$�=\frac{�}{�}=\frac{�+{�}_{人}}{�-{�}_{源}}·��$ ，

在t时间内听到n次声音，所以观察者听到声音的频率为，

${�}^{\prime }=\frac{�}{�}=\frac{�+{�}_{人}}{�-{�}_{源}}·�$ ，

这就是多普勒效应的公式啦。

好了，讲完了，就这么简单。

小伙伴们，咱们下期再见啦！